TD - Suites numériques

Ce TD propose de travailler les notions du chapitre Suites numériques à l'aide d'un tableur. Nous utiliserons le logiciel Libre Office Calc.

Dans votre dossier personnel, créez un dossier appelé "TD suites" (dans Mes Documents, faire Clic droit, puis Nouveau dossier et choisir le nom). Chaque exercice devra être enregistré dans ce dossier.

Attention, pensez à sauvegarder régulièrement !

Exercice 1

Nous allons réaliser un outil de type tableur afin d'étudier plus facilement des suites arithmétiques de raison $r$ et de premier terme $u_0$ :

1 A l'aide du tableur, mettre en forme le tableau suivant :

Pour numéroter les indices de 0 à 11, il est possible de n'écrire que 0 et 1, et faire deviner la suite au tableur avec un "sélectionner-étirer".

2 On veut que lorsqu'une valeur initiale est entrée dans $C4$, elle soit automatiquement recopiée dans la case $F8$. Ecrire une formule (commençant par le signe "=") permettant de liers ces case. Vérifier en entrant la valeur de départ $u_0 = 1$.

3 On rappelle que la valeur en $G8$ correspond à $u_1$ et vaut $u_1 = r + u_0$ :

a Ecrire dans $G8$ une formule pour ajouter la raison $r$ en $F4$ à la valeur précédente $u_0$ en $F8$.

b Vérifier que quand on entre $r=2$ dans la case $F4$, la valeur de $u_1$ est correctement calculée dans $G8$ et vaut bien $3$.

c À l'aide d'un "cliqué-glissé", étendre cette formule à toutes les cases de $G8$ à $Q8$. Vérifier qu'on obtient bien les valeurs des nombres impairs.

Attention, cette technique permet de décaler automatiquement les cases dans la formule de départ. Or, on ne veut pas que la case $F4$ soit décalée.
Dans la formule, il faut taper $$F4$ au lieu $F4$ pour que le "cliqué-glissé" ne la décale pas pour les valeurs suivantes.

4 On rappelle que pour calculer directement la valeur d'un terme de n'importe quel indice $n$, on peut utiliser la formule explicite $u_n = u_0 + r\times n$ :

a On veut faire ce calcul dans la case $F11$ : sachant que $n$ correspond à la case $F10$ et que le premier terme $u0$ est dans la case $C4$, écrire la formule qui permet ce calcul.

b En choisissant $n=100$ dans la case $F10$, vérifier que le résultat $u_{100} = 201$ est correctement calculé.

5 A l'aide des outils graphiques, tracer un nuage de point représentant les 12 premières valeurs de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. Que remarque-t-on ?

Exercice 2

Nous allons également réaliser un outil de type tableur afin d'étudier plus facilement des suites géométriques de raison $q$ et de premier terme $u_0$ :

1 A l'aide du tableur, mettre en forme le tableau suivant :

2 Ecrire une formule (commençant par le signe "=") permettant de lier automatiquement les cases $C4$ et $F8$. Vérifier en entrant la valeur de départ $u_0 = 1$.

3 On rappelle que la valeur en $F8$ correspond à $u_1$ et vaut $u_1 = q \times u_0$ :

a Ecrire dans $G8$ une formule pour multiplier la valeur précédente $u_0$ en $F8$ par la raison $q$ en $F4$.

b Vérifier que quand on entre $r=2$ dans la case $F4$, la valeur de $u_1$ est correctement calculée dans $G8$ et vaut bien $2$.

c À l'aide d'un "cliqué-glissé", étendre cette formule à toutes les cases de $G8$ à $Q8$. Vérifier qu'on obtient bien les valeurs des puissances de 2.

Attention, utiliser le signe $ pour ne pas écaler la case $F4$ avec un "cliqué-glissé".

4 On rappelle que pour calculer directement la valeur d'un terme de n'importe quel indice $n$, on peut utiliser la formule explicite $u_n = u_0 \times q^ n$ :

a On veut faire ce calcul dans la case $F11$ : sachant que $n$ correspond à la case $F10$ et que le premier terme $u0$ est dans la case $C4$, écrire la formule qui permet ce calcul.

$q^n$ s'écrit q ^ n dans le tableur

b En choisissant $n=200$ dans la case $F10$, vérifier que le résultat $u_{100} = 1 038 576$ est correctement calculé.

5 A l'aide des outils graphiques, tracer un nuage de point représentant les 12 premières valeurs de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. Obtient-on des points alignés ?

Exercice 3

Nous souhaitons utiliser les deux outils précédents pour représenter une situation concrète :

Pour son premier emploi, une entreprise propose à un jeune cadre de choisir ses conditions de rémunérations parmi les deux propositions suivantes :

Contrat A : salaire de début 1800€ et augmentation annuelle de 110€ les années suivantes
Contrat B : salaire de début 1500€ et augmentation annuelle de 8% (multiplié par $1,08$) les années suivantes

On appelle $u_n$ et $v_n$ les salaires au bout de $n$ années pour le contrat A et B.

1 En reconnaissant les types de suites que sont $u_n$ et $v_n$, calculez les salaires pour les deux contrats sur les $12$ premières années (utiliser les outils des premiers exercices).

2 Quel contrat est le contrat le plus avantageux :

En début de carrière ?
Au bout de 10 ans ?

Que conseiller au jeune cadre ?

3 A l'aide des outils graphiques, faire apparaître sur un même graphique les nuages de points représentant les salaires des contrats A et B sur les 12 premières années. Commenter le graphique.

Exercice 4

Une banque propose à ses clients deux façons de placer un capital $C$ au taux de $t$% :

Un placement à intérêts simples : à la fin de chaque année, $t$% du capital initial $C$ s’ajoute au capital acquis en début d’année.
Un placement à intérêts composés : à la fin de chaque année, le capital augmente de $t$% du capital acquis en début d’année.

Au bout de $n$ années, on note $S_n$ le capital acquis avec le placement à intérêts simples et $T_n$ le capital acquis au bout de n années avec le placement à intérêts composés.

1 En reconnaissant le type de la suite $S_n$, calculer les capitaux annuels sur 10 ans pour un placement à intérêts simples à taux de $10$% avec comme capital initial $C = 2000€$.

2 En reconnaissant le type de la suite $T_n$, calculer les capitaux annuels sur 10 ans pour un placement à intérêts composés à taux de $5$% avec comme capital initial $C = 2000€$.

3 Quel placement est le plus avantageux :

Au début ?
Au bout de 20 ans ? 30 ans ?

Quel placement préférer ?

4 A l'aide des outils graphiques, faire apparaître sur un même graphique les nuages de points représentant les capitaux annuels des deux placements sur les 12 premières années. Commenter le graphique.